카이제곱 분포는 어디서 오는가

표준정규 값을 제곱해서 더하면

카이제곱 분포의 정체는 이 한 줄이다 — 표준정규분포(평균 0, 표준편차 1)를 따르는 값들을 제곱해서 더한 것.

더한 개수 k가 자유도다. 실제로 이 Z는 한 모집단에서 뽑은 표본을 표준화한 것 — Zᵢ = (Xᵢ−μ)/σ. 아래에서 직접 만들어보자: 모집단에서 표본을 뽑고 → 표준화하고 → 제곱해서 더하면, 정말 카이제곱이 나온다.

관찰이 기대와 맞는가 — 주사위

주사위를 600번 던진다. 공정하다면 각 눈이 100번씩 나와야 한다(기대). 실제 관찰이 그 기대에서 얼마나 벗어났는지를 제곱합으로 잰다.

그냥 (관찰−기대)를 더하면 +와 −가 상쇄돼 0이 되니, 제곱해서 크기만 본다. 기대로 나누는 건 상대적 심각도 보정. 이 값을 카이제곱 곡선 위에 놓고, 오른쪽 꼬리 넓이로 유의성을 판정한다.

두 분류가 관련 있는가 — 흡연 × 폐질환

사람들을 흡연 여부와 폐질환 여부로 나눠 센다. "둘이 무관하다면 기대되는 빈도"를 주변합으로 구하고, 실제 관찰이 거기서 얼마나 벗어났는지를 카이제곱으로 잰다. 값을 직접 바꿔보라.